Puede marcar fragmentos interesantes de texto que estarán disponibles a través de un enlace único en su navegador.

Regla de l'Hôpital

Regla de l'Hôpital

Regla de l'Hôpital

En matemática, más específicamente en el cálculo infinitesimal, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli[1] es utilizada para determinar límites que de otra manera sería complicado calcular. La regla dice que, dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x = c, si f(x) y g(x) tienden ambas a cero cuando x tiende a c, entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x), siempre que este límite exista (c puede ser finito o infinito):

\lim_{x\to c}{f(x)\over g(x)}=\lim_{x\to c}{f'(x)\over g'(x)}

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.[1]

Contenido

Enunciado

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema de Cauchy que se da sólo en el caso de indeterminación del tipo \begin{matrix} \frac{0}{0} \end{matrix}.

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b],
y sean f(a)=g(a)=0 y g(x)≠0 para a<x<b.
Si f y g son derivables en a y g'(a)≠0, entonces existe el límite de f/g en a y es igual a f'(a)/g'(a).
Por lo tanto, \lim_{x \to a^+}{f(x)\over g(x)}={f'(a) \over g'(a)}


Guillaume de l'Hôpital

Demostración

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.[2]

  • Dado que f(a)=g(a)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:

{f(x)\over g(x)}={f(x)-f(a) \over g(x)-g(a)}={{f(x)-f(a) \over x-a}\over{g(x)-g(a)\over x-a}}


  • Sabemos que f y g son diferenciables en a, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:

 \lim_{x \to a^+}{f(x) \over g(x)}= {\lim_{x \to a^+}{f(x)-f(a)\over x-a}\over \lim_{x \to a^+}{g(x)-g(a) \over x-a}}={f'(a)\over g'(a)}

Ejemplos

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al limite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; osea sean las funciones originales f(x)/g(x) al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicación sencilla


  \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}
  = \xrightarrow{\mathrm{L'H \hat{o} pital}} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1}
  = \frac{1}{1}
  = 1

Aplicación consecutiva

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

 \lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}-2x} {x-\operatorname{sen}(x)} =
 =\xrightarrow{\mathrm{L'H \hat{o} pital}} \lim_{x \to 0} \frac{e^x-(-e^{-x})-2}{1-\operatorname{cos}(x)} =
 =\xrightarrow{\mathrm{L'H \hat{o} pital}} \lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{\operatorname{sen}(x)} =
 =\xrightarrow{\mathrm{L'H \hat{o} pital}} \lim_{x \to 0} \frac{e^x-(-e^{-x})}{\operatorname{cos}(x)} = \frac{e^0+e^{-0}}{\operatorname{cos}(0)} = \frac{1+1}{1} = 2

Adaptaciones algebraicas

Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo \begin{matrix} \frac{0}{0} \end{matrix} mediante tranformaciones algebraicas:

Cocientes incompatibles

Las indeterminaciones de tipo \begin{matrix} \frac{\infty}{\infty} \end{matrix} se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:


\lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^4}}

Indeterminaciones no cocientes

A veces algunos límites indeterminados que no aparecen dados como cocientes pueden ser hallados con esta regla.

  • Tipo  \infty - \infty


\begin{align}

\lim_{x \to \infty} x - \sqrt{x^2 - x} & = \lim_{x \to \infty} \frac{\left(x + \sqrt{x^2 - x}\right)\left(x - \sqrt{x^2 - x}\right)}{x + \sqrt{x^2 - x}} 
  = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - (x^2 - x)}{x + \sqrt{x^2 - x}} \\

{} & = \lim_{x \to \infty} \frac{\begin{matrix} \to \infty \\ \overbrace{ x } \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ x + \sqrt{x^2 - x} } \\ \to \infty \end{matrix}}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{(x)'}{(x + \sqrt{x^2 - x})'} \\


{} & = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x}}}
  = \frac{1}{1 + 1}
  = \frac{1}{2}

\end{align}

Véase también

Referencias

  1. a b María Cristina Solaeche Galera (1993). «La Controversia L'Hospital - Bernoulli». Consultado el 9 de agosto de 2009.
  2. * «Regla de L'Hôpital». Consultado el 9 de agosto de 2009.
Obtenido de "Regla de l%27H%C3%B4pital"

Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Guillaume de l'Hôpital — Guillaume de l Hôpital. Guillaume François Antoine, marqués de l Hôpital[1] (París, 1661 – París, 2 de febrero de 1704) fue un matemático …   Wikipedia Español

  • L'Hôpital — puede hacer referencia a: L Hôpital (Mosela), comuna francesa situada en el departamento de Mosela; Guillaume de l Hôpital (1661 1704), matemático francés; Regla de l Hôpital, herramienta divulgada por Guillaume de l Hôpital, utilizada en… …   Wikipedia Español

  • Límite de una función — El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado a las funciones. Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser… …   Wikipedia Español

  • Teorema del valor medio de Cauchy — En análisis matemático, y más concretamente en cálculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange). A partir del mismo puede demostrarse la regla de L Hôpital, fuerte ayuda… …   Wikipedia Español

  • Ley de Stigler — La ley de Stigler, también conocida como la ley de la eponimia de Stigler, es un axioma formulado por Stephen Stigler en 1980 que viene a decir que «ningún descubrimiento científico recibe el nombre de quien lo descubrió en primer lugar».[1]… …   Wikipedia Español

  • Función de Cobb-Douglas — Saltar a navegación, búsqueda Función de Producción Cobb Douglas para capital y trabajo En economía, la función Cobb Douglas es una forma de función de producción, ampliamente usada para representar las relaciones entre un producto y las… …   Wikipedia Español

  • Función de producción de Cobb-Douglas — Función de Producción Cobb Douglas para capital y trabajo En economía, la función Cobb Douglas es una forma de función de producción, ampliamente usada para representar las relaciones entre un producto y las variaciones de los insumos tecnología …   Wikipedia Español

  • Bertrand de Got — Clément V Clément V Pape de l’Église catholique romaine …   Wikipédia en Français

  • Bertrand de Goth — Clément V Clément V Pape de l’Église catholique romaine …   Wikipédia en Français

  • Maison de Wissocq — Famille de Wissocq Maison de Wissocq (ancien) …   Wikipédia en Français