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Sólidos platónicos

Sólidos platónicos

Los sólidos platónicos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras. Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón (ca. 427 adC/428 adC – 347 adC), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. También se conocen como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos.

Los sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Esta lista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.

Contenido

Historia

Las propiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, hay referencias a unas bolas neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos en Los elementos de Euclides. Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo». Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes (como Proclo) atribuyen a Pitágoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que sólo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto, un matemático griego contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.

Propiedades

Regularidad

Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:

  • Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
  • En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas.
  • Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
  • Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
  • Todos sus vertices son convexos a los del icosaedro.

Simetría

Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:

  • Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
  • Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
  • Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.

Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:

  • Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
  • Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
  • Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.

Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.

Conjugación

Artículo principal: Poliedro dual

Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.

Esquema

El Teorema de poliedros de Euler fija que el número de caras de un poliedro platónico más su número de vértices es siempre igual a su número de aristas más dos, es decir:

c + v = a + 2

Tabla comparativa

Sólidos Platónicos Tetraedro Hexaedro, Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Tetrahedron.jpg Hexahedron.jpg Octahedron.jpg Dodecahedron.jpg Icosahedron.jpg
Número de caras 4 6 8 12 20
Polígonos que forman

las caras

Triángulos Equiláteros Cuadrados Triángulos Equiláteros Pentágonos Regulares Triángulos Equiláteros
Número de aristas 6 12 12 30 30
Número de vértices 4 8 6 20 12
Caras concurrentes

en cada vértice

3 3 4 3 5
Vértices contenidos

en cada cara

3 4 3 5 3
Grupo de simetría Tetraédrico (Td) Hexaédrico (Hh) Octaédrico (Oh) Icosaédrico (Lh) Icosaédrico (Lh)
Poliedro conjugado Tetraedro (autoconjugado) Octaedro Hexaedro, Cubo Icosaedro Dodecaedro
Símbolo de Schläfli {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5}
Símbolo de Wythoff 3 | 2 3 3 | 2 4 4 | 2 3 3 | 2 5 5 | 2 3
Ángulo diedro 70.53° = arccos(1/3) 90° 109.47° = arccos(-1/3) 116.56° 138.189685°
Radio externo  R= \frac{ \sqrt{6} }{4} \cdot a  R= \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot a  R= \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot a r_u=\frac{\sqrt{6}}{4} \sqrt{3 +\sqrt{5}} \cdot a r_u=\frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}}
 \approx  0.612 \cdot a  0.866 \cdot a  0.707 \cdot a 1.401258538 \cdot a 0.9510565163 \cdot a
Radio interno  r= \frac{ \sqrt{6} }{12} \cdot a  r= \frac{ {a} } {2} r_i={a} \sqrt{ \frac{2}{3} } r_i=\frac{a}{4} \sqrt{ \frac{50+22\sqrt{5}}{5} } r_i=\frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3+ \sqrt{5} \right)
 \approx  0.204 \cdot a  0.5 \cdot a  0.816 \cdot a 1.113516364 \cdot a 0.7557613141\cdot a


Poliedros regulares en la naturaleza

En la naturaleza hay estructuras que son poliedros regulares casi perfectos, por ejemplo, la estructura básica del VIH es un icosaedro regular[cita requerida].

Curiosidades

Los dados de rol utilizados en algunos juegos de rol tienen las formas de los sólidos platónicos: dado de veinte (D20), dado de doce (D12), dado de diez (D10, aunque no es un sólido platónico; es un sólido formado por dos pirámides pentagonales unidas por su base), dado de ocho (D8), dado de seis (D6) y dado de cuatro (D4). Cada dado se utiliza para uno o más propósitos particulares dependiendo de cada juego.

Bibliografía

  • Sutton, David (2005). Sólidos platónicos y arquimedianos. Oniro S. A. ISBN 84-9754-131-6. 
  • QUINCE SALAS, Ricardo. Propiedades elementales de los poliedros regulares. Santander: [s.n.], 1974. 17 p. Comunicación presentada a las Reuniones sobre Geometría aplicada a la Arquitectura y a la Ingeniería Civil.
  • QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Teoría y ejercicios. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 202 p.
  • QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Tomo 2: soluciones. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 124 p.

Véase también

Enlaces externos


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