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Intervalo (matemática)

Intervalo (matemática)

En matemáticas, un intervalo (del lat intervallum) es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real, es decir, una porción de recta entre dos valores dados.

Contenido

Caracterización

El intervalo real  I\ es la parte de \R que verifica la siguiente propiedad:

Si x\ e y\ pertenecen a I\ con x \le y , entonces para todo z\ tal que x \le  z \le  y\ , se tiene que z\ pertenece a I\ .

Notación

Intervalo abierto (a,b).
Intervalo cerrado [a,b].
Intervalo semiabierto [a,b).
Intervalo semiabierto (a,b].

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

  •  (a,b)\ o bien  ]a,b[\
  • Notación conjuntista o en términos de desigualdades:  \{x\in\R\,|\,a<x<b\}

Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

  •  [a,b]\
  • Notación conjuntista o en términos de desigualdades:   \{x\in\R\,|\,a\le x\le b\}

Intervalo semiabierto

Incluye únicamente uno de los extremos.

  •  [a,b)\ o bien  [a,b[\ , notación conjuntista: \{x\in\R\,|\,a\le x<b\}
  •  (a,b]\ o bien  ]a,b]\ , notación conjuntista: \{x\in\R\,|\,a<x\le b\}

Nota:

Ejemplos

Função quadrática restrita a um intervalo.svg Transformación lineal de intervalos 02.svg Translin.png Number-line.gif

Clasificación

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con ab, y x perteneciente al intervalo:

Notación Intervalo Longitud Descripción
[a, b] \,  a \le x \le b b-a \, Intervalo cerrado de longitud finita.
[a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  [a, b) \!  a \le x < b\! b-a \, Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).
]a, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  (a, b] \! a < x \le b b-a \, Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).
]a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  (a, b) \! a<x<b \! b-a \, Intervalo abierto.
]-\infty, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  (- \infty, b) \!  x < b \! \infty Intervalo semiabierto.
]-\infty, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  (- \infty, b] \!  x \le b \! \infty Intervalo semiabierto.
[a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  [a, \infty ) \!  x \ge a \! \infty Intervalo semiabierto.
]a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  (a, \infty ) \!  x > a \! \infty Intervalo semiabierto.
]\infty, + \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  (\infty, + \infty ) \!  x \in \mathbb{R} \! \infty Intervalo a la vez abierto y cerrado.
 \{ a \} \!  x=a \!  0 \! Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).
\{\} = \emptyset\! x no existe Sin longitud. Conjunto vacío.

Propiedades

  • La intersección de intervalos de \R es también un intervalo.
  • La unión de intervalos de \R no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).
  • Las partes conexas de \R son exactamente los intervalos.
  • Los intervalos cerrados son lo que se denominada «segmento de recta».
  • La imagen por una función continua de un intervalo de \R es un intervalo de \R. Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.

Aritmética de intervalos

Sean I = [a, b] y J = [c, d] con a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.

Entonces: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que

  • I + J = [ a + c , b + d ].
  • I - J = [ a - d, b - c ].
  • Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].

Generalización

En el espacio métrico \R, los intervalos son las bolas abiertas y cerradas.

Un intervalo n-dimensional se define como un subconjunto de \R^n, que es el producto cartesiano de n intervalos: I = I_1\times I_2 \times \cdots \times I_n, uno en cada eje de coordenadas.

De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro a y radio ε, al conjunto de puntos x cuya distancia a a es menor que ε.

E (a ; \epsilon) = \left\{ \left. x \in  \real \ \ \right| \ \ |x - a| < \epsilon \right\}
1 Zahl mit Epsilon Umgebung.svg

Véase también

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

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