Infinitesimal

Un infinitesimal o infinitésimo se puede definir como una cantidad infinitamente pequeña, se usa en el cálculo infinitesimal, se definen estrictamente como límites y se suelen considerar como números en la práctica.

Contenido

Introducción

El cálculo infinitesimal fue propuesto inicialmente por Arquímedes. Luego fue utilizado por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, en los albores del surgimiento del Análisis matemático moderno, pero posteriormente fue desacreditado por George Berkeley y finalmente olvidado. Durante el siglo XIX Karl Weierstrass y Cauchy comenzaron a utilizar la definición formal de límite matemático, por lo que el cálculo infinitesimal ya no era necesario. Sin embargo durante el siglo XX los infinitesimales fueron rescatados como una herramienta que ayuda a calcular límites de forma simple. Es bastante popular el uso de infinitésimos en la bibliografía rusa.

Otra manera de trabajar con los infinitésimos es considerarlos como números, y no como límites, es decir trabajar en un conjunto \real que contenga más números que los usuales. Se les llaman números hiperreales, y son una creación del análisis no estándar.

Definición

Un infinitesimal o infinitésimo es una cantidad infinitamente pequeña. Se puede definir matemáticamente como:

\lim_{x \to a}f(x) = 0 se dice que f es un infinitésimo en x=a

Algunas funciones son infinitésimos en determinados puntos, por ejemplo:

f(x) = x-1 es un infinitésimo en x=1.
g(x) = sen(x) es un infinitésimo en 0 + kπ con k \in \mathbb{Z}.

Por lo tanto, toda función cuando tiende a 0 en un punto se denomina infinitésima.

Propiedades de los infinitésimos

  1. La suma finita de infinitésimos es un infinitésimo.
  2. El producto de dos infinitésimos es un infinitésimo.
  3. El producto de un infinitésimo por una función acotada es un infinitésimo.
  4. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.
  5. La división de un infinitésimo por un escalar no nulo es un infinitésimo

Comparación de infinitésimos

Dadas \lim_{x \to a}f(x) = 0 y \lim_{x \to a} g(x) = 0

  1. Si \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = \infin f y g son infinitésimos comparables en x=a y f es un infinitésimo de orden inferior a g en x=a.
  2. Si \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = 0 f y g son infinitésimos comparables en x=a y f es un infinitésimo de orden superior a g en x=a.
Si \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = l con l perteneciente a \mathbb{R} - \left\{0\right\} f y g son infinitésimos del mismo orden en x=a.
  1. En particular, si \left| \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right|=1 f es un infinitésimo equivalente a g en x=a

Si dos infinitésimos son equivalentes entonces se puede aproximar uno a otro. Es decir si f(x) y g(x) son infinitésimos equivalentes cuando x \to a entonces se puede decir que f(x)\approx g(x) cuando  x \to a. Si se presentan como factor o divisor pueden sustituirse uno por otro para el cálculo de límites cuando  x \to a.

Algunos Infinitésimos equivalentes

f(x)\, es un infinitésimo cuando  x \to 0.

  1.  \sin(x) \approx x
  2.  \tan(x) \approx x
  3.  1-\cos(x) \approx \frac {x^2} {2}
  4.  \arcsin(x) \approx x
  5.  \arctan (x) \approx x
  6.  e^{x}-1 \approx x
  7.  \ln(1+x) \approx x

f(x)\, es un infinitésimo cuando  x \to 1.

  1.  \ln(f(x)) \approx f(x)-1

Véase también


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Mira otros diccionarios:

  • infinitésimal — infinitésimal, ale, aux [ ɛ̃finitezimal, o ] adj. • 1706; de l adj. infinitésime, lat. mod. infinitesimus 1 ♦ Sc. Relatif aux quantités infiniment petites. Calcul infinitésimal, analyse infinitésimale : partie des mathématiques comprenant le… …   Encyclopédie Universelle

  • Infinitesimal — In fin*i*tes i*mal, a. [Cf. F. infinit[ e]simal, fr. infinit[ e]sime infinitely small, fr. L. infinitus. See {Infinite}, a.] Infinitely or indefinitely small; less than any assignable quantity or value; very small. [1913 Webster] {Infinitesimal… …   The Collaborative International Dictionary of English

  • infinitesimal — (Del fr. infinitésimal). adj. Mat. Perteneciente o relativo a las cantidades infinitamente pequeñas. U. t. c. s. m.) ☛ V. cálculo infinitesimal …   Diccionario de la lengua española

  • infinitesimal — [in΄fin i tes′i məl, in΄fin itez′i məl] adj. [ModL infinitesimus < L infinitus (see INFINITE), infl. by centesimus, hundredth < centum, HUNDRED] 1. too small to be measured; infinitely small 2. Math. of or pertaining to an infinitesimal n.… …   English World dictionary

  • infinitésimal — infinitésimal, ale (in fi ni té zi mal, ma l ) adj. Terme de mathématique. Qui a le caractère d une quantité infiniment petite. •   Le plus vil métal recouvert d une couche infinitésimale d or ou d argent par les procédés de la galvanoplastie,… …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • infinitesimal — adj. 2 g. 1.  [Matemática] Que tem o caráter de infinitésima. 2. Composto de partes infinitamente pequenas. 3. cálculo infinitesimal: cálculo que compreende o integral e o diferencial …   Dicionário da Língua Portuguesa

  • infinitesimal — adjetivo 1. Área: matemáticas [Cantidad] que es infinitamente pequeña. cálculo* infinitesimal …   Diccionario Salamanca de la Lengua Española

  • Infinitesimal — In fin*i*tes i*mal, n. (Math.) An infinitely small quantity; that which is less than any assignable quantity. [1913 Webster] …   The Collaborative International Dictionary of English

  • infinitesimal — index impalpable, inappreciable, intangible, minimal, tenuous Burton s Legal Thesaurus. William C. Burton. 2006 …   Law dictionary

  • infinitésimal — INFINITÉSIMAL: On ne sait pas ce que c est, mais a rapport à l homéopathie …   Dictionnaire des idées reçues

  • infinitesimal — (adj.) 1710 (1650s as a noun), infinitely small, from Mod.L. infinitesimus, from L. infinitus infinite (see INFINITE (Cf. infinite)) + esimus, as in centesimus hundredth. Related: Infinitesimally …   Etymology dictionary

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