Función hiperbólica

Función hiperbólica

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias o funciones circulares. Estas son:

Curvas de la funciones hiperbólicas
sinh, cosh y tanh
Curvas de las funciones hiperbólicas
csch, sech y coth

El seno hiperbólico

\sinh(wx) = \frac {e^{wx} - e^{-wx}} {2}

El coseno hiperbólico

\cosh(wx) = \frac {e^{wx} + e^{-wx}} {2}

La tangente hiperbólica

\tanh(x) = \frac {\sinh(x)} {\cosh(x)}

y otras líneas:

\coth(x) = \frac {\cosh(x)} {\sinh(x)}
(cotangente hiperbólica)
\mbox{sech}(x) = \frac {1} {\cosh(x)}
(secante hiperbólica)
\mbox{csch}(x) = \frac {1} {\sinh(x)}
(cosecante hiperbólica)

Contenido

Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circulares

Las funciones trigonométricas sen(t) y cos(t) pueden definirse a partir de las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de de la circunferencia unitaria centrada en el origen, siendo t el ángulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo x, y el segmento OP, según las siguientes igualdades:

\ x(t) = cos(t)
\ y(t) = sen(t)

También puede interpretarse el parámetro t como la longitud del arco de circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0) y el punto P, o como el doble del área del sector circular determinado por el semieje positivo x, el segmento OP y la circunferencia unitaria.

De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es

\ x^2-y^2=1

siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo x, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades:

\ x(t) = cosh(t)
\ y(t) = senh(t)

Sin embargo, también puede probarse que es válida la siguiente descripción de la hipérbola:

\ x(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}
\ y(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}

dado que

\ (\frac {e^{t} + e^{-t}} {2})^2 - (\frac {e^{t} - e^{-t}} {2})^2 = 1


De modo que el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico admiten una representación en términos de funciones exponenciales de variable real:

\ cosh(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}
\ senh(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}

Seno hiperbolico.gif

Relaciones

Ecuación fundamental

\cosh^2(x) - \,\mathrm{sinh}^2(x) = 1 \,

Duplicación del argumento

\cosh(2x) = \cosh^2(x)+\,\mathrm{sinh}^2(x)
\mathrm{sinh}(2x) = 2\,\mathrm{sinh}(x)\cosh(x)

Derivación e integración

\frac{d\ }{dx}(\cosh(x)) = \,\mathrm{sinh}\,(x)
\frac{d\ }{dx}(\,\mathrm{sinh}\,(x)) = \cosh(x)

La derivada de sinh(x) está dada por cosh(x) y la derivada de cosh(x) es sinh(x). El gráfico de la función cosh(x) se denomina catenaria.

Inversas de las funciones hiperbólicas

Las funciones recíprocas de las funciones hiperbólicas son:


\mbox{argsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})


\mbox{argcosh}(x) = \ln(x \pm \sqrt{x^2 - 1})


\mbox{argtanh}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)


\mbox{argcoth}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1}\right) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)


\mbox{argsech}(x) = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)


\mbox{argcsch}(x) = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 + x^2}}{x}\right)


Las series de Taylor de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:


\operatorname{asinh} (x) = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots =
\operatorname{asinh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1


 \operatorname{acosh} (x) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots ) =
 \operatorname{acosh} (x) = \ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , x > 1


\operatorname{atanh} (x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots =
\operatorname{atanh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1


\operatorname{acsch} (x) = \operatorname{asinh} (x^{-1}) = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =
\operatorname{acsch} (x) =\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1


\operatorname{asech} (x) = \operatorname{acosh} (x^{-1}) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots ) =
\operatorname{asech} (x) =\ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {(2n)} , 0 < x \le 1


\operatorname{acoth} (x) = \operatorname{atanh} (x^{-1}) = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =
\operatorname{acoth} (x) =\sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| > 1

Relación con la función exponencial

De la relación del coseno y seno hiperbólico se pueden derivar las siguientes relaciones:

e^x = \cosh x + \sinh x\!

y

e^{-x} = \cosh x - \sinh x.\!

Estas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la fórmula de Euler, como suma de exponenciales complejos.

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

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