Ecuación diferencial

Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Contenido

Introducción

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

  • \,y'= 2xy + 1 es una ecuación diferencial ordinaria, donde \,y=f(x) es la variable dependiente, \,x la variable independiente e y'=\frac{dy}{dx} es la derivada de \,y con respecto a \,x.
  • La expresión \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}=0 es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

2

Grado de la ecuación

Se llama grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. La ecuación debe tener una forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma \, a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x), es decir:

  • Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
  • En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
  • Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplos:

  • y' = y es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones y = f(x) =  k \cdot e^x , con k un número real cualquiera.
  • y'' + y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones y = f(x) = a \cos (x) + b  \sin (x)\,, con a y b reales.
  • y'' − y = 0 es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones a * ex + b * 1 / (ex), con a y b reales.

Usos

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

\mathbf{Mx}''(t)+ \mathbf{Cx}'(t)+\mathbf{Kx}(t)=\mathbf{P}(t) \,

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

  • La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2 },

donde t\, es el tiempo y x\, es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

Solución de una ecuación diferencial

Tipos de soluciones

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. Hay tres tipos de soluciones:

  1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
  2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
  3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

Resolución de algunas ecuaciones

Referencia

Bibliografía

Enlaces externos

Véase también

Obtenido de "Ecuaci%C3%B3n diferencial"

Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Ecuación diferencial — Una ecuación diferencial, es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones respecto de una o más incógnitas. Según el número de derivadas, las ecuaciones diferenciales se dividen en: ● Ecuaciones diferenciales ordinarias:… …   Enciclopedia Universal

  • Ecuación diferencial ordinaria — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada EDO ) es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable. Las… …   Wikipedia Español

  • Ecuación diferencial lineal — Saltar a navegación, búsqueda Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma general y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma: O usando otra notación frecuente …   Wikipedia Español

  • Ecuación diferencial exacta — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma: en donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales. Esto es equivalente …   Wikipedia Español

  • Ecuación diferencial ordinaria de primer orden — Saltar a navegación, búsqueda Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria dónde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición… …   Wikipedia Español

  • Ecuación diferencial de Bernoulli — Saltar a navegación, búsqueda Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma: donde y …   Wikipedia Español

  • Ecuación diferencial de Clairaut — Saltar a navegación, búsqueda La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor a su inventor, el físico francés Alexis Claude Clairaut, es una ecuación diferencial ordinaria de la forma: Para resolver la ecuación, diferenciamos respecto… …   Wikipedia Español

  • Ecuación diferencial algebraica — Saltar a navegación, búsqueda Una ecuación diferencial algebraica consiste en una ecuación diferencial ordinaria (ODE) además de una ecuación algebraica; ambas ecuaciones deben ser satisfechas simultáneamente. Obtenido de Ecuaci%C3%B3n… …   Wikipedia Español

  • Ecuación diferencial de Riccati — Saltar a navegación, búsqueda Jacobo Francesco Ricatti , matemático y filósofo, nació en Italia en 1676 conocido como conde y muere en 1754. Fue el principal responsable de la introducción de las ideas de Newton en Italia. En cierto momento, le… …   Wikipedia Español

  • ecuación diferencial ordinaria — Ecuación que contiene derivadas de una función de una sola variable. Su orden es el de la derivada de mayor orden que contiene (p. ej., una ecuación diferencial de primer orden involucra sólo la primera derivada de la función). Debido a que la… …   Enciclopedia Universal

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”