Coordenadas elípticas

Coordenadas elípticas
Sistema de coordenadas elípticas.

Las coordenadas elípticas son un sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonales en los que las líneas coordenadas son elipses confocales e hipérbolas. Los dos focos F1 y F2 están generalmente fijos en las posiciones x = − a y x = + a, respectivamente, sobre el eje OX de un sistema cartesiano cuyos ejes son ejes de simetría de las líneas coordenadas hiperbólicas y elípticas.

Las coordenadas elípticas cilíndricas son un sistema tridimensional obtenido haciendo rotar el sistema anterior alrededor del eje de focos y añadiendo una coordenada angular polar adicional.

Definición

La definición más común de las coordenadas elípticas bidimensionales (μ,ν) es:


\begin{cases} 
x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \\
y = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \end{cases}

Donde:

\mu\, es un número real no-negativo y
\nu \in [0, 2\pi)\,.

En el plano complejo, existe una relación equivalente dada por:


x + iy = a \ \cosh(\mu + i\nu)

Estas definiciones corresponde a elipses e hipérbolas. La identidad trigonométrica:


\frac{x^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{y^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1

muestra que las curvas con \mu\, constante son elipses, mientras que las la identidad trigonométrica hiperbólica:


\frac{x^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{y^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1

muestra que las curvas con \nu\, constante son hiperbolas.


Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas elípticas son resolución de ecuaciones en derivadas parciales como la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las que las coordenadas elípticas admiten separación de variables. Un ejemplo típico es la carga eléctrica que rodea a un conductor plano de anchura 2a. O el campo de dos cargas eléctricas puntuales del mismo signo a una distancia 2a.

Véase también


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